Không phải tất cả các câu đều dùng nguyên hàm từng phần được đâu nhé, 1 số câu phải dùng đổi biến, đặc biệt những câu liên quan đến căn thức thì đừng dại mà nguyên hàm từng phần (vì càng nguyên hàm từng phần biểu thức nó càng phình to ra chứ không thu gọn lại, vĩnh viễn không ra kết quả đâu)

a/ \(I=\int\frac{9x^2}{\sqrt{1-x^3}}dx\)

Đặt \(u=\sqrt{1-x^3}\Rightarrow u^2=1-x^3\Rightarrow2u.du=-3x^2dx\)

\(\Rightarrow9x^2dx=-6udu\)

\(\Rightarrow I=\int\frac{-6u.du}{u}=-6\int du=-6u+C=-6\sqrt{1-x^3}+C\)

b/ Đặt \(u=1+\sqrt{x}\Rightarrow du=\frac{dx}{2\sqrt{x}}\Rightarrow2du=\frac{dx}{\sqrt{x}}\)

\(\Rightarrow I=\int\frac{2du}{u^3}=2\int u^{-3}du=-u^{-2}+C=-\frac{1}{u^2}+C=-\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)^2}+C\)

c/ Đặt \(u=\sqrt{2x+3}\Rightarrow u^2=2x\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{u^2}{2}\\dx=u.du\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\int\frac{u^2.u.du}{2u}=\frac{1}{2}\int u^2du=\frac{1}{6}u^3+C=\frac{1}{6}\sqrt{\left(2x+3\right)^3}+C\)

d/ Đặt \(u=\sqrt{1+e^x}\Rightarrow u^2-1=e^x\Rightarrow2u.du=e^xdx\)

\(\Rightarrow I=\int\frac{\left(u^2-1\right).2u.du}{u}=2\int\left(u^2-1\right)du=\frac{2}{3}u^3-2u+C\)

\(=\frac{2}{3}\sqrt{\left(1+e^x\right)^2}-2\sqrt{1+e^x}+C\)

e/ Đặt \(u=\sqrt[3]{1+lnx}\Rightarrow u^3=1+lnx\Rightarrow3u^2du=\frac{dx}{x}\)

\(\Rightarrow I=\int u.3u^2du=3\int u^3du=\frac{3}{4}u^4+C=\frac{3}{4}\sqrt[3]{\left(1+lnx\right)^4}+C\)

f/ \(I=\int cosx.sin^3xdx\)

Đặt \(u=sinx\Rightarrow du=cosxdx\)

\(\Rightarrow I=\int u^3du=\frac{1}{4}u^4+C=\frac{1}{4}sin^4x+C\)

Từ phần này trở đi mới bắt đầu xài nguyên hàm từng phần:

g/ \(I=\int\left(x^2+2x-1\right)e^xdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x^2+2x-1\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\left(2x+2\right)dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\left(x^2+2x-1\right)e^x-\int\left(2x+2\right)e^xdx\)

Xét \(J=\int\left(2x+2\right)e^xdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=2x+2\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2dx\\v=e^x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow J=\left(2x+2\right)e^x-\int2e^xdx=\left(2x+2\right)e^x-2e^x+C=2x.e^x+C\)

\(\Rightarrow I=\left(x^2+2x-1\right)e^x-2x.e^x+C=\left(x^2-1\right)e^x+C\)

lm jup mk di m.n

a) Đặt \(x=\sin t;t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\) \(\Rightarrow dx=\cos tdt\)

Suy ra : \(\frac{dx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}=\frac{\cos tdt}{\sqrt{\left(1-\sin^2t\right)^3}}=\frac{\cos tdt}{\cos^3t}=\frac{dt}{\cos^2t}=d\left(\tan t\right)\)

Khi đó \(\int\frac{dx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}=\int d\left(\tan t\right)=\tan t+C=\frac{\sin t}{\sqrt{1-\sin^2t}}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+C\)

b) Vì \(x^2+2x+3=\left(x+1\right)^2+\left(\sqrt{2}\right)^2\)

nên ta đặt : \(x+1=\sqrt{2}\tan t;t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\Rightarrow dx=\sqrt{2}.\frac{dt}{\cos^2t};\tan t=\frac{x+1}{\sqrt{2}}\)

Suy ra \(\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+3}}=\frac{dx}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^2+\left(\sqrt{2}\right)^2}}=\frac{dx}{\sqrt{2\left(\tan^2t+1\right).\cos^2t}}\)

                        \(=\frac{dt}{\sqrt{2}\cos t}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{\cos tdt}{1-\sin^2t}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}.\left(\frac{\cos tdt}{\sin t-1}-\frac{\cos tdt}{\sin t+1}\right)\)

Khi đó \(\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+3}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\int\left(\frac{\cos tdt}{\sin t-1}-\frac{\cos tdt}{\sin t+1}\right)=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left|\frac{\sin t-1}{\sin t+1}\right|+C\left(1\right)\)

Từ \(\tan t=\frac{x+1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow\tan^2t=\frac{\sin^2t}{1-\sin^2t}=\frac{\left(x+1\right)^2}{2}\Rightarrow\sin^2t=1-\frac{2}{x^2+2x+3}\)

Ta tìm được \(\sin t\) thay vào (1), ta tính được I

đặt \(x=\frac{\sqrt{3}}{cost};\forall t\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\Rightarrow tant>0\)

\(dx=d\left(\frac{\sqrt{3}}{cost}\right)=\frac{-\sqrt{3}sint}{cos^2t}dt\)

Thay vào, ta có \(\int\frac{\sqrt{3}\cdot\frac{-\sqrt{3}sint}{cos^2t}}{\frac{\sqrt{3}}{cost}\sqrt{\frac{3}{cos^2t}-3}}dt=\int\frac{-3\cdot\frac{sint}{cos^2t}}{\frac{3}{cost}\cdot\sqrt{tan^2t}}dt=\int\frac{-sint}{cost\cdot tant}dt=-\int dt=-t+C\)

Bây giờ thay t vào là ra

Câu 2)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln ^2x\\ dv=x^2dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=2\frac{\ln x}{x}dx\\ v=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow I=\frac{x^3}{3}\ln ^2x-\frac{2}{3}\int x^2\ln xdx\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} k=\ln x\\ dt=x^2dx\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} dk=\frac{dx}{x}\\ t=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow \int x^2\ln xdx=\frac{x^3\ln x}{3}-\int \frac{x^2}{3}dx=\frac{x^3\ln x}{3}-\frac{x^3}{9}+c\)

Do đó \(I=\frac{x^3\ln^2x}{3}-\frac{2}{9}x^3\ln x+\frac{2}{27}x^3+c\)

Câu 3:

\(I=\int\frac{2}{\cos 2x-7}dx=-\int\frac{2}{2\sin^2x+6}dx=-\int\frac{dx}{\sin^2x+3}\)

Đặt \(t=\tan\frac{x}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sin x=\frac{2t}{t^2+1}\\ dx=\frac{2dt}{t^2+1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=-\int \frac{2dt}{(t^2+1)\left ( \frac{4t^2}{(t^2+1)^2}+3 \right )}=-\int\frac{2(t^2+1)dt}{3t^4+10t^2+3}=-\int \frac{2d\left ( t-\frac{1}{t} \right )}{3\left ( t-\frac{1}{t} \right )^2+16}=\int\frac{2dk}{3k^2+16}\)

Đặt \(k=\frac{4}{\sqrt{3}}\tan v\). Đến đây dễ dàng suy ra \(I=\frac{-1}{2\sqrt{3}}v+c\)

Câu 6)

\(I=-\int \frac{\left ( 1-\frac{1}{x^2} \right )dx}{x^2+2+\frac{1}{x^2}}=-\int \frac{d\left ( x+\frac{1}{x} \right )}{\left ( x+\frac{1}{x} \right )^2}=-\frac{1}{x+\frac{1}{x}}+c=-\frac{x}{x^2+1}+c\)

Câu 8)

\(I=\int \ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)dx=\int \ln (x+1)dx-\int \ln (x-1)dx\)

\(\Leftrightarrow I=\int \ln (x+1)d(x+1)-\int \ln (x-1)d(x-1)\)

Xét \(\int \ln tdt\) ta có:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\ln t\\ dv=dt\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dt}{t}\\ v=t\end{matrix}\right.\Rightarrow \int \ln tdt=t\ln t-\int dt=t\ln t-t+c\)

\(\Rightarrow I=(x+1)\ln (x+1)-(x+1)-(x-1)\ln (x-1)+x-1+c\)

\(\Leftrightarrow I=(x+1)\ln(x+1)-(x-1)\ln(x-1)+c\)

1) Đặt \(t=1+\sqrt{x-1}\Leftrightarrow x=\left(t-1\right)^2+1\forall t\ge1\Rightarrow dx=d\left(t-1\right)^2=2dt\)

\(\Rightarrow I_1=\int\frac{\left(t-1\right)^2+1}{t}\cdot2dt=2\int\frac{t^2-2t+2}{t}dt=2\int\left(t-2+\frac{2}{t}\right)dt\\ =t^2-4t+4lnt+C\)

Thay x vào ta có...

2) \(I_2=\int\frac{2sinx\cdot cosx}{cos^3x-\left(1-cos^2x\right)-1}dx=\int\frac{-2cosx\cdot d\left(cosx\right)}{cos^3x+cos^2x-2}=\int\frac{-2t\cdot dt}{t^3+t-2}\)

\(I_2=\int\frac{-2t}{\left(t-1\right)\left(t^2+2t+2\right)}dt=-\frac{2}{5}\int\frac{dt}{t-1}+\frac{1}{5}\int\frac{2t+2}{t^2+2t+2}dt-\frac{6}{5}\int\frac{dt}{\left(t+1\right)^2+1}\)

Ta có:

\(\int\frac{2t+2}{t^2+2t+2}dt=\int\frac{d\left(t^2+2t+2\right)}{t^2+2t+2}=ln\left(t^2+2t+2\right)+C\)

\(\int\frac{dt}{\left(t+1\right)^2+1}=\int\frac{\frac{1}{cos^2m}}{tan^2m+1}dm=\int dm=m+C=arctan\left(t+1\right)+C\)

Thay x vào, ta có....

3)

\(\frac{1}{\left(1+\sqrt{x}\right)+\sqrt{x+1}}=\frac{\left(1+\sqrt{x}\right)-\sqrt{x+1}}{\left[\left(1+\sqrt{x}\right)-\sqrt{x+1}\right]\cdot\left[\left(1+\sqrt{x}\right)+\sqrt{x+1}\right]}\\ =\frac{\left(1+\sqrt{x}\right)-\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x}}\)

\(I_3=\int\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x}}\right)dx=\sqrt{x}+\frac{x}{2}+\int\sqrt{\frac{x+1}{x}}\cdot\frac{dx}{2}\)

Xét \(\int\sqrt{\frac{x+1}{x}}\cdot\frac{dx}{2}\)

Đặt \(x=tan^2t\Leftrightarrow dx=\frac{2tant}{cos^2t}\cdot dt\)

\(\Rightarrow\int\sqrt{\frac{x+1}{x}}\cdot\frac{dx}{2}=\int\sqrt{\frac{tan^2t+1}{tan^2t}}\cdot\frac{tant}{cos^2t}dt\\ =\int\frac{1}{sin^2t}\cdot\frac{sint}{cos^3t}dt=\int\frac{d\left(cost\right)}{cos^3t\left(1-cos^2t\right)}=...\)

a) Đặt \(1+\ln x=t\)  khi đó \(\frac{dx}{x}=dt\)  và do đó 

\(I_1=\int\sqrt{t}dt=\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}\sqrt{\left(1+\ln x\right)^3}+C\)

b) Đặt \(\sqrt[4]{e^x+1}=t\)  khi đó \(e^x+1=t^4\Rightarrow e^x=t^4-1\) và \(e^xdx=4t^3dt\)  , \(e^{2x}dx=e^x.e^xdx=\left(t^4-1\right)4t^3dt\) 

Do đó :

\(I_2=4\int\frac{t^3\left(t^4-1\right)}{t}dt=4\int\left(t^6-t^2\right)dt=4\left[\frac{t^7}{7}-\frac{t^3}{3}\right]+C\)

    \(=4\left[\frac{1}{7}\sqrt[4]{\left(e^x+1\right)^7}-\frac{1}{3}\sqrt[4]{\left(e^x+1\right)^3}\right]+C\)

c) Lưu ý rằng \(x^2dx=\frac{1}{3}d\left(x^3+C\right)\) do đó :

\(I_3=\int x^2e^{x^{3+6}dx}=\frac{1}{3}\int e^{x^{3+6}}d\left(x^3+6\right)=\frac{1}{3}e^{x^{3+6}}+C\)

C

8 hệ

a) Dùng phương pháp hữu tỉ hóa "Nếu \(f\left(x\right)=R\left(e^x\right)\Rightarrow t=e^x\)"  ta có \(e^x=t\Rightarrow x=\ln t,dx=\frac{dt}{t}\)

Khi đó \(I_1=\int\frac{t^3}{t+2}.\frac{dt}{t}=\int\frac{t^2}{t+2}dt=\int\left(t-2+\frac{4}{t+2}\right)dt\)

                \(=\frac{1}{2}t^2-2t+4\ln\left(t+2\right)+C=\frac{1}{2}e^{2x}-2e^x+4\ln\left(e^x+2\right)+C\)

b) Hàm dưới dấu nguyên hàm

\(f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt[3]{x^2}}=R\left(x;x^{\frac{1}{2}},x^{\frac{2}{3}}\right)\)

q=BCNN(2;3)=6

Ta thực hiện phép hữu tỉ hóa theo :

"Nếu \(f\left(x\right)=R\left(x:\left(ã+b\right);\left(ax+b\right)^{r2},....\right),r_k=\frac{P_k}{q_k}\in Q,k=1,2,...,m\Rightarrow t=\left(ax+b\right)^{\frac{1}{q}}\),q=BCNN \(\left(q_1,q_2,...,q_m\right)\)"

=> \(t=x^{\frac{1}{6}}\Rightarrow x=t^{6,}dx=6t^5dt\)

Khi đó nguyên hàm đã cho trở thành :

\(I_2=\int\frac{t^3}{t^6-t^4}6t^{5dt}=\int\frac{6t^4}{t^2-1}dt=6\int\left(t^2+1+\frac{1}{t^2-1}\right)dt\)

     \(=6\int\left(t^2+1\right)dt+2\int\frac{dt}{\left(t-1\right)\left(t+1\right)}=2t^3+6t+3\int\frac{dt}{t-1}-3\int\frac{dt}{t+1}\)

     \(=2t^2+6t+3\ln\left|t-1\right|-3\ln\left|t+1\right|+C=2\sqrt{x}+6\sqrt[6]{x}+3\ln\left|\frac{\sqrt[6]{x-1}}{\sqrt[6]{x+1}}\right|+C\)

c) Hàm dưới dấu nguyên hàm có dạng :

\(f\left(x\right)=R\left(x;\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{2}{3}};\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{5}{6}}\right)\)

q=BCNN (3;6)=6

Ta thực hiện phép hữu tỉ hóa được

\(t=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{1}{6}}\Rightarrow x=\frac{t^6+1}{t^6-1},dx=\frac{-12t^5}{\left(t^6-1\right)^2}dt\)

Khi đó hàm dưới dấu nguyên hàm trở thành

\(R\left(t\right)=\frac{1}{\left(\frac{t^6+1}{t^6-1}\right)^2-1}\left[t^4-t^5\right]=\frac{\left(t^6-1\right)^2}{4t^6}\left(t^4-t^5\right)\)

Do đó :

\(I_3=\int\frac{\left(t^6-1\right)^2}{4t^6}\left(t^4-t^5\right).\frac{-12t^5}{\left(t^6-1\right)}dt=3\int\left(t^4-t^3\right)dt\)

    \(=\frac{5}{3}t^5-\frac{3}{4}t^4+C=\frac{3}{5}\sqrt[6]{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^5}-\frac{3}{4}\sqrt[3]{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2}+C\)